2018考研数学二真题和答案解析分析[word版]

发布于:2021-10-23 18:49:49

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2017 年全国硕士研究生入学统一考试

数学二真题分析

(word 版)

一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.

(1))若函数

f

(x)

?

??1? cos ? ax

x , x ? 0 在 x ? 0 处连续,则(

??b, x ? 0

(A) ab ? 1 2

(B) ab ? ? 1 2

(C) ab ? 0


(D) ab ? 2

【答案】A

【解析】 lim 1? cos

x

1x ? lim 2 ?

1

,

x?0?

ax

x?0? ax 2a

f (x) 在 x ? 0 处连续? 1 ? b ? ab ? 1 . 选 A.

2a

2

(2)设二阶可导函数 f (x) 满足 f (1) ? f (?1) ? 1, f (0) ? ?1且 f ''(x) ? 0 ,则( )

1
? (A) f (x)dx ? 0 ?1

0

1

? ? (C) f (x)dx ? f (x)dx

?1

0

? ? B? 1 f (x)dx ? 0 ?1

? ? ?D?

0

f (x)dx ?

1
f (x)dx

?1

0

【答案】B 【解析】

0

1

? ? f (x) 为偶函数时满足题设条件,此时 f (x)dx ? f (x)dx ,排除 C,D.

?1

0

? ? ? ? 取

f (x) ? 2x2 ?1 满足条件,则

1
f (x)dx ?
?1

1 ?1

2x2 ?1

dx

?

?

2 3

?

0

,选

B.

(3)设数列?xn? 收敛,则( )

( A) 当 limsin n??

xn

?

0

时, lim n??

xn

?

0

(C) 当

lim(
n??

xn

?

xn2 )

?

0 时,

lim
n??

xn

?

0

(B)



lim(
n??

xn

?

xn

)

?

0 时, lim n??

xn

?

0

(D) 当

lim(
n??

xn

? sin

xn )

?

0

时,

lim
n??

xn

?

0

【答案】D

【解析】特值法:(A)取

xn

?

?

,有 limsin n??

xn

?

0, lim n??

xn

??

,A

错;

范文范例学*参考

取 xn ? ?1,排除 B,C.所以选 D.
(4)微分方程的特解可设为
(A) Ae2x ? e2x (B cos 2x ? C sin 2x) (C) Ae2x ? xe2x (B cos 2x ? C sin 2x)

(B) Axe2x ? e2x (B cos 2x ? C sin 2x) (D) Axe2x ? e2x (B cos 2x ? C sin 2x)

【答案】A
【解析】特征方程为: ?2 ? 4? ? 8 ? 0 ? ?1,2 ? 2 ? 2i
f (x) ? e2x (1? cos 2x) ? e2x ? e2x cos 2x ? y1* ? Ae2x , y2* ? xe2x (B cos 2x ? C sin 2x), 故特解为: y* ? y1* ? y2* ? Ae2x ? xe2x (B cos 2x ? C sin 2x), 选 C.

(5)设 f (x, y) 具有一阶偏导数,且对任意的 (x, y) ,都有 ?f (x, y) ? 0, ?f (x, y) ? 0 ,则

?x

?y

(A) f (0, 0) ? f (1,1) (B) f (0, 0) ? f (1,1) (C) f (0,1) ? f (1, 0) (D) f (0,1) ? f (1, 0)

【答案】C

【解析】 ?f (x, y) ? 0, ?f (x, y) ? 0,? f (x, y) 是关于 x 的单调递增函数,是关于 y 的单调递减函数,

?x

?y

所以有 f (0,1) ? f (1,1) ? f (1, 0) ,故答案选 D.

(6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线 v ? v1(t)(单 位: m / s ),虚线表示乙的速度曲线 v ? v2 (t) ,三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3,计时开始后乙 追上甲的时刻记为 t0 (单位:s),则( )
v(m / s)

10

20

0 5 10 15 20 25 30 t(s)
2

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(A) t0 ? 10

(B)15 ? t0 ? 20

(C) t0 ? 25

(D) t0 ? 25

【答案】B

? ? 【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为

t0 0

v1

(t)dt

,

t0 0

v2

(t)dt

,

则乙要追上甲,则

? t0 0

v2 (t) ?

v1(t)dt

? 10 ,当 t0

?

25 时满足,故选

C.

?0

?

(7)设

A

为三阶矩阵,P

?

(?1 , ? 2

,?3

)

为可逆矩阵,使得

P ?1

AP

?

? ?

1

? ?

,则

A(?,1?,2?)3

?(



??

2 ??

(A)?1 ? ?2

(B)?2 ? 2?3 (C)?2 ? ?3

(D)?1 ? 2?2

【答案】 B 【解析】

?0

?

?0

?

?0

?

P?1

AP

?

? ?

??

1

? 2 ???

?

AP

?

P

? ???

1

? ?

?

A(?1 , ? 2 , ? 3 )

?

(?1

,

?

2

,?

3

)

? ?

2 ??

??

1

? ?

?

?

2

?

2?3

,

2 ??

因此 B 正确。

?2 0 0? ?2 1 0? ?1 0 0? (8)设矩阵 A ? ??0 2 1?? , B ? ??0 2 0?? , C ? ??0 2 0?? ,则( )
??0 0 1?? ??0 0 1?? ??0 0 2??

(A) A与C相似, B与C相似

(B) A与C相似, B与C不相似

(C) A与C不相似, B与C相似

(D) A与C不相似, B与C不相似

【答案】B
【解析】由 ?E ? A ? 0 可知 A 的特征值为 2,2,1,

?1 0 0?

因为

3

?

r(2E

?

A)

?

1,∴A

可相似对角化,即

A

~

? ?

0

2

0

? ?

?? 0 0 2 ??

由 ?E ? B ? 0 可知 B 特征值为 2,2,1.

因为 3 ? r(2E ? B) ? 2 ,∴B 不可相似对角化,显然 C 可相似对角化,∴ A ~ C ,但 B 不相似于 C.

范文范例学*参考

二、填空题:9?14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答.题.纸.指定位置上.

(9)

曲线 y

?

x ???1? arcsin

2 x

? ??

的斜渐*线方程为_______

【答案】 y ? x ? 2

【解析】

lim y ? lim(1? arcsin 2) ? 1, lim ? y ? x? ? lim x arcsin 2 ? 2,

x x??

x??

x

x??

x??

x

?y? x?2

(10)

设函数

y

?

y(

x)

由参数方程

? ?

x

?

t

?

et

? y ? sin t

确定,则

d2y dx2

t?0

? ______

【答案】 ? 1 8
【解析】

dy dt

?

cos t,

dx dt

?1?

et

?

dy dx

?

cos t 1? et

?

cos t

'
?

? ? d 2 y
? dx2

? ?? 1? et ?? dx

? sin t(1? et ) ? cos tet

?

1? et 2

d2y ? dx2

1 t?0 ? ? 8

dt

? (11)

?? 0

ln(1? x) (1? x)2 dx

?

_______

【答案】1 【解析】

? ? ??
0

ln(1? x) (1? x)2 dx

?

??
?
0

ln(1 ?

x)d

1 1?

x

? ?

?

? ??

ln(1? x) 1? x

?? 0

?

?? 0

1 (1? x)2

? dx?
?

???
?

1

dx ? 1.

0 (1? x)2

(12) 设 函 数 f (x, y) 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 且 df (x, y) ? yeydx ? x(1? y)eydy , f (0, 0) ? 0 , 则

f ( x, y)? _ _ _ _ _ _

4

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【答案】 xyey
? 【解析】 fx? ? yey , fy? ? x(1? y)ey , f (x, y) ? yeydx ?xyey ? c( y), 故
fy? ? xey ? xyey ? c?(y) ? xey ? xyey , 因此 c?( y) ? 0 ,即 c( y) ? C ,再由 f (0, 0) ? 0 ,可得 f (x, y) ? xyey.

【答案】

【解析】

? ? (13)

1
dy

1 tan xdx ? ______

0 yx

【答案】 ln cos1.

【解析】交换积分次序:

? ? ? ? ? 1 dy

1 tan xdx ?

1
dx

x tan xdy ?

1 tan xdx ? ln cos1.

0 yx

0 0x

0

?4 1 ?2?

?1?

(14)设矩阵 A ? ??1 ??3

2 1

a

? ?

?1??

的一个特征向量为

? ? ??

1 2

? ? ??

,则

a

?

_____

【答案】-1

?1 ?

【解析】设 ?

?

??1

? ?

,由题设知

A?

?

??

,故

?? 2??

? 4 1 ?2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ?

? ?

1

2

a

? ?

??1

? ?

?

?

??1

? ?

?

? ?

3

?

2a

? ?

?

? ?

?

? ?

?? 3 1 ?1?? ?? 2 ?? ?? 2 ?? ?? 2 ?? ?? 2? ??

故 a ? ?1.

三、解答题:15—23 小题,共 94 分.请将解答写在答.题.纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.

? x x ? tetdt
(15)(本题满分 10 分)求极限 lim 0

x?0?

x3

【答案】 2 3

? x x ? tet

【解析】 lim 0

dt ,令 x ?t ? u ,则有

x?0

x3

范文范例学*参考

? ? ? x x ? tetdt ? ? 0 uex?udu ? x uex?udu

0

x

0

x
原式= lim ?0 x?0

? u e x?u du

ex x ueudu

3

? lim x?0

0 3

x2

x2

x
? lim ?0 x?0

u eu du
3
x2

? lim x?0

xex

3

1
x2

?

2 3

2

(16)(本题满分 10 分)设函数 f (u, v) 具有 2 阶连续偏导数, y ? f (ex , cos x) ,求 dy , d 2 y

dx x?0

dx2 x?0

【答案】 dy dx

x?0

?

f1'

(1,1),

d2y dx2

x?0

?

f ''
11

(1,1),

【解析】

x?0
y ? f (ex , cos x) ? y(0) ? f (1,1)

? ? ? dy ? dx x?0

f1'e x

?

f

' 2

?? sin

x?

?
x?0

f1' (1,1) ?1?

f

' 2

(1,1)

?

0

?

f1' (1,1)

?

d2y dx2

?

f1'1' e2x

?

f1'2' ex (? sin x) ?

f

e''
21

x

(?

sin

x)

?

f

'' 22

sin

2

x?

f1'e x

?

f

' 2

cos

x

d2y ? dx2

?

f ''
11

(1,1)

?

f1' (1,1) ?

f

' 2

(1,1)

x?0

结论:

dy dx

x?0

?

f1' (1,1)

d2y dx2

x?0

?

f ''
11

(1,1)

?

f1' (1,1) ?

f2' (1,1)

? (17)(本题满分

10

分)求

lim
n??

n k ?1

k n2

ln

???1 ?

k n

? ??

【答案】 1 4
【解析】

? ? ? ? lim
n??

n k ?1

k n2

ln(1 ?

k) n

?

1 x ln(1? x)dx ? 1

0

2

1
ln(1 ?

x)dx2

?

1

(ln(1 ?

x) ?

x2

0

2

1 0

?

1 x2 ?1?1 dx) ? 1

0 1? x

4

6

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(18)(本题满分 10 分)已知函数 y(x) 由方程 x3 ? y3 ? 3x ? 3y ? 2 ? 0 确定,求 y(x) 的极值

【答案】极大值为 y(1) ? 1 ,极小值为 y(?1) ? 0

【解析】 两边求导得:

3x2 ? 3y2 y '? 3 ? 3y ' ? 0

(1)

令 y ' ? 0 得 x ? ?1
对(1)式两边关于 x 求导得

6x ? 6y ? y '?2 ? 3y2 y ''? 3y '' ? 0

(2)



x

?

?1

代入原题给的等式中,得

?x

? ?

y

?1 or
?1

?x

? ?

y

? ?

?1, 0

将 x ? 1, y ? 1代入(2)得 y ''(1) ? ?1 ? 0

将 x ? ?1, y ? 0 代入(2)得 y ''(?1) ? 2 ? 0

故 x ?1为极大值点, y(1) ? 1 ; x ? ?1 为极小值点, y(?1) ? 0

(19)(本题满分 10 分)设函数 f (x) 在区间[0,1] 上具有 2 阶导数,且 f (1) ? 0, lim f (x) ? 0 ,证明: x x?0?
(?) 方程 f (x) ? 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根;
(?) 方程 f (x) f '(x) ? ( f '(x))2 ? 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
(I) f (x) 二阶导数, f (1) ? 0, lim f (x) ? 0 x x?0?
解:1)由于 lim f (x) ? 0 ,根据极限的保号性得 x x?0?
?? ? 0,?x ?(0,? ) 有 f (x) ? 0 ,即 f (x) ? 0
x
进而 ?x0 ?(0,? )有f ?? ? ? 0
又由于 f (x) 二阶可导,所以 f (x) 在[0,1] 上必连续
那么 f (x) 在[? ,1] 上连续,由 f (? ) ? 0, f (1) ? 0 根据零点定理得:

范文范例学*参考

至少存在一点? ? (? ,1) ,使 f (? ) ? 0 ,即得证 (II)由(1)可知 f (0) ? 0 , ?? ? (0,1),使f (? ) ? 0 ,令 F(x) ? f (x) f '(x) ,则 f (0) ? f (? ) ? 0 由罗尔定理 ?? ?(0,? ),使f '(?) ? 0 ,则 F(0) ? F(?) ? F(? ) ? 0 , 对 F(x) 在 (0,?), (?,? ) 分别使用罗尔定理: ??1 ? (0,?),?2 ? (?,? ) 且?1,?2 ? (0,1),?1 ? ?2 ,使得 F '(?1) ? F '(?2 ) ? 0 ,即
F '(x) ? f (x) f ''(x) ? ? f '(x)?2 ? 0 在 (0,1) 至少有两个不同实根。
得证。

? ? ?? (20)(本题满分 11 分)已知*面区域 D ? ? x, y? | x2 ? y2 ? 2y , 计算二重积分 ? x ?1?2dxdy 。 D

【答案】 5? 4

?? ??? ? ?? ?? ? ? 【解析】 ?x ?1?2dxdy ?

x2 ?1 dxdy ? 2 x2dxdy ?

dxdy ? 2

?
2 d?

2sin? r2 cos2 ?d? ? ? ? 5?

D

D

D

D

0

0

4

(21)(本题满分

11

分)设

y(x)

是区间

? ??

0,

3 2

? ??

内的可导函数,且

y(1)

?

0

,点

P

是曲线

L:

y ? y(x) 上

? ? ? ? 任意一点,L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点 0,Yp ,法线与 x 轴相交于点 X p , 0 ,若 X p ? Yp ,求 L

上点的坐标 ? x, y? 满足的方程。
【答案】
【 解 析 】 设 p? x, y(x)? 的 切 线 为 Y ? y(x) ? y?(x)? X ? x? , 令 X ? 0 得 Yp ? y(x) ? y?(x)x , 法 线

Y

?

y(x)

?

?

1 y?(x)

?

X

?

x?

,令 Y

?

0得

X

p

?

x

?

y(x) y?(x)

。由

X

p

?

Yp



y

?

xy?(x)

?

x

?

yy?(x) ,即

? ??

y x

? 1???

y?(x)

?

y x

?1





y ?u x

,则

y?

u x, 按 照 齐 次 微 分 方 程 的 解 法 不 难 解 出

1 ln(u2 ?1) ? arctan u ? ? ln | x | ?C , x

(22)(本题满分 11 分)设 3 阶矩阵 A ? ??1, ?2, ? ?3 有 3 个不同的特征值,且?3 ? ?1 ? 2?2 。

(?) 证明: r(A) ? 2

8

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(?) 若 ? ? ?1 ? ?2 ? ?3 ,求方程组 Ax ? ? 的通解。

? 1 ? ?1?

【答案】(I)略;(II)通解为

k

? ?

2

? ?

? ??1?? , k

?

R

?? ?1?? ??1??

【解析】

(I)证明:由?3 ? ?1 ? 2?2 可得?1 ? 2?2 ? ?3 ? 0 ,即?1,?2 ,?3 线性相关,

因此, A ? ?1 ?2 ?3 ? 0 ,即 A 的特征值必有 0。

又因为 A 有三个不同的特征值,则三个特征值中只有 1 个 0,另外两个非 0.

? ?1

?

且由于

A

必可相似对角化,则可设其对角矩阵为

?

?

? ?

?2

? ?

,

?1

?

?2

?

0

??

0 ??

∴ r(A) ? r(?) ? 2

(II)由(1) r( A) ? 2 ,知 3 ? r(A) ? 1,即 Ax ? 0 的基础解系只有 1 个解向量,

?1 ? ?1 ?

?1 ?

由 ?1

?

2? 2

??3

?

0

可得 ??1,?2 ,?3

?

? ?

2

? ?

?

A

? ?

2

? ?

?

0

,则

Ax

?

0

的基础解系为

? ?

2

? ?



?? ?1?? ?? ?1??

?? ?1??

?1? ?1?

?1?

又 ? ? ?1 ? ?2 ? ?3 ,即 ??1,?2,?3 ? ??1?? ? A??1?? ? ? ,则 Ax ? ? 的一个特解为 ??1?? ,

??1?? ??1??

??1??

?1 ? ?1?

综上,

Ax

?

?

的通解为

k

? ?

2

? ?

?

??1??

,

k

?

R

?? ?1?? ??1??

( 23 )( 本 题满 分 11 分) 设 二 次 型 f (x1, x2 , x3 ) ? 2x12 ? x22 ? ax32 ? 2x1x2 ? 8x1x3 ? 2x2 x3 在 正 交 变换

X ? QY 下的标准型 ?1 y12 ? ?2 y22 ,求 a 的值及一个正交矩阵 Q .

?1

? ?

3

【答案】

a

?

2; Q

?

? ?

?

?

1 3

?1

?? 3

【解析】

?1 2
0
1 2

1?

6

? ?

2 6

? ? ?

,

f

x ? Qy

? 3 y12 ? 6 y22

1?

6 ??

范文范例学*参考

? 2 1 ?4?

f

(x1, x2 , x3 )

?

X T AX

,其中

A

?

? ?

1

?1

1

? ?

?? ?4 1 a ??

由于 f (x1, x2 , x3 ) ? X T AX 经正交变换后,得到的标准形为 ?1 y12 ? ?2 y22 ,

2 1 ?4 故 r( A) ? 2 ?| A |? 0 ? 1 ?1 1 ? 0 ? a ? 2 ,
?4 1 a

? 2 1 ?4?

将a

?

2 代入,满足 r( A)

?

2 ,因此 a

?

2 符合题意,此时

A

?

? ?

1

?1

1

? ?

,则

?? ?4 1 2 ??

? ? 2 ?1 4 | ?E ? A |? ?1 ? ?1 ?1 ? 0 ? ?1 ? ?3, ?2 ? 0, ?3 ? 6 ,
4 ?1 ? ? 2

?1 ?



(?3E

?

A)x

?

0

,可得

A

的属于特征值-3

的特征向量为 ?1

?

? ?

?1??



??1 ??

? ?1?

由 (6E

?

A)x

?

0 ,可得

A

的属于特征值

6

的特征向量为 ? 2

?

? ?

0

? ?

??1 ??

?1 ?

由 (0E

?

A)x

?

0 ,可得

A

的属于特征值

0

的特征向量为 ? 3

?

? ?

2

? ?

??1 ??

? ?3

?



P

? ??1,?2,?3 ?

,则

P ?1

A P?

? ?

?

?

6

? ?

,由于

?1,?

2,?

彼此正交,故只需单位化即可:
3

0 ??

?1 ?

1 3

?1, ?1,1?T

, ?2

?

1 2

? ?1,

0,1?T

,

?3

?

1 ?1, 2,1?T , ,
6

?1

? ?

3

?1 2

则 Q ? ? ?1 ?2

?3

?

?

? ?

?

?

1 3

0

?1 1

?? 3

2

1?

6

? ?

? ?3

?

2 6 1

? ? ? ?



QT

AQ

?

? ? ??

6

? ?

0 ??

6 ??

10

完美 WORD 格式
f (x1, x2, x3) x?Qy ? 3y12 ? 6 y22
如果想要了解更多,广大研友们也可加入 2017 考研复试交流群(118146590)和大家一起交流考研心 路历程。也可将自己考研的经验传授给学弟学妹们 2018 考研交流总群(337587371),希望他们在 2018 年金榜题名。
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